Асимптоты графика функции

Обоюдное размещение прямых в пространстве

Разглядим две прямые, записанные в каноническом виде

и ,

где и – точки, принадлежащие этим прямым, а и – направляющие векторы этих прямых.

1. Прямые параллельны, если параллельны их направляющие векторы:

. (5.13)

Но направляющие векторы прямых не должны быть параллельны вектору .

2. Прямые перпендикулярны, если перпендикулярны их направляющие векторы:

(5.14)

3. Если прямые образуют угол Асимптоты графика функции , то

. (5.15)

4. Прямые скрещиваются, если они лежат в различных плоскостях, другими словами векторы , и не компланарны:

. (5.16)

Пример 9. Установите обоюдное размещение прямых и .

Решение. 1. Согласно условию запишем: , , , .

2. Выясним, являются ли прямые параллельными: . Потому что не производится условие 5.13, то данные прямые не параллельны.

3. Выясним, являются ли прямые скрещивающимися:

.

Потому что производится условие 5.16, то Асимптоты графика функции данные прямые скрещиваются.

Ответ: прямые скрещиваются.

Пример 10. Найдите угол меж прямыми и .

Решение. 1. Запишем направляющие векторы этих прямых:

и .

2. Найдем скалярное произведение направляющих векторов:

.

Потому что эти прямые перпендикулярны, то .

Ответ: .

Обоюдное размещение прямой и плоскости

Разглядим прямую и плоскость .

1. Ровная параллельна плоскости, если

. (5.17)

2. Ровная перпендикулярна плоскости, если

. (5.18)

3. Если ровная образует с плоскостью угол Асимптоты графика функции , то

. (5.19)

Пример 11. Найдите значение p, при котором ровная параллельна плоскости .

Решение. Согласно условию задачки запишем:

, , , , , .

Подставляя эти значения в формулу 5.17, получим:

, откуда .

Ответ: 3.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости

с обычным вектором находят по формуле:

. (5.20)

Пример 12. Найдите расстояние меж плоскостями и .

Решение. 1. Данные плоскости параллельны Асимптоты графика функции, потому что производится условие 5.6: .

2. Найдем всякую точку, принадлежащую первой плоскости. К примеру, полагая , а , получим .

2. Найдем расстояние от точки до плоскости . Согласно формуле 5.20 запишем:

.

Ответ: .

Контрольный тест 5

Укажите верный вариант ответа (1 – 10):

1. Если точка принадлежит плоскости

,

а вектор – обычный вектор этой плоскости, то значение D равно

Варианты ответов: 1) 0; 2) 14; 3) – 8; 4) – 24; 5) 24.

2. Если плоскость проходит через Асимптоты графика функции точки , и , то сумма координат обычного вектора этой плоскости равна

Варианты ответов: 1) 4; 2) 9; 3) 0; 4) – 4; 5) 17.

3.Если – обычный вектор плоскости , а – обычный вектор плоскости , то угол меж этими плоскостями равен

Варианты ответов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

4. Расстояние от точки до плоскости равно

Варианты ответов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

5.Плоскости и перпендикулярны при условии, что значение n равно

Варианты ответов: 1) – 2; 2) 1; 3) 0; 4) 4; 5) – 5.

6.Если ровная параллельна вектору и проходит Асимптоты графика функции через точку , то значение выражения равно

Варианты ответов: 1) 10; 2) 15; 3) – 24; 4) 24; 5) – 6.

7.Если ровная перпендикулярна векторам и , то она параллельна вектору

Варианты ответов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

8. Если точки , , и – верхушки пирамиды, то абсолютная величина скалярного произведения обычных векторов граней ABC и ADC равна

Варианты ответов: 1) 3; 2) 0; 3) 1; 4) – 6; 5) 33.

9. Если точки , , и – верхушки пирамиды, то угол меж гранями ABC и ADC равен

Варианты ответов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

10. Если точки , , и Асимптоты графика функции – верхушки пирамиды, то ровная AD образует с гранью ABC угол, величина которого равна

Варианты ответов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

ФУНКЦИИ

6.2. Функция: главные понятия и определения

Функцией именуют такую зависимость переменной от переменной , при которой каждому допустимому значению соответствует единственное значение . При всем этом переменную х именуют независящей переменной либо аргументом функции, а переменную у – зависимой от х Асимптоты графика функции переменной либо значением функции.

К примеру, равенства , , , , – функции.

Уравнение задает функцию очевидно, а уравнение задает функцию неявно. Чтоб задать функцию очевидно, нужно в уравнении выразить одну переменную через другую.

К примеру, зададим очевидно уравнение гиперболы , выразив переменную y через переменную x:

Но, не всякое равенство, содержащее переменные, является функцией. К Асимптоты графика функции примеру, уравнение окружности нельзя считать функцией, потому что каждому значению х соответствует два значения у.

К примеру, если уравнение окружности имеет вид , то при получим: . Но если рассматривать не всю окружность, а только ее часть, то можно совершенно точно записать у, как функцию от х. Так, к примеру Асимптоты графика функции, если взять часть окружности, расположенную над осью абсцисс, то , а если взять часть окружности, расположенную под осью абсцисс, то .

Огромное количество всех допустимых значений переменной образуют область определения функции. Область определения функции обозначают . Огромное количество всех допустимых значений переменной образуют область значений функции. Область значений функции обозначают .

К примеру Асимптоты графика функции:

1) областью определения функции является огромное количество всех реальных чисел и область значений этой функции – огромное количество всех реальных чисел;

2) область определения функции составляют числа, принадлежащие промежутку , а область ее значений – числа, принадлежащие промежутку .

Графиком функции именуют огромное количество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной многофункциональной зависимости, другими словами точек вида . График Асимптоты графика функции функции представляет собой некую линию на плоскости. Чтоб выстроить график функции, можно, придавая переменной х любые допустимые значения, отыскать надлежащие им значения функции и нанести приобретенные точки на координатную плоскость. Соединив эти точки, получим график функции. При всем этом построенный таким макаром график не всегда верно отражает многофункциональную Асимптоты графика функции зависимость меж переменными. Чтоб выстроить графическое изображение верно, следует знать вид многофункциональной зависимости и наносить на координатную плоскость соответствующие для этой зависимости точки. Если функция непростая, то проводят ее полное исследование.

Функция увеличивается на промежутке (a; b), если для всех x1 и x2, принадлежащих промежутку (a; b), из неравенства следует неравенство Асимптоты графика функции (рис. 6.1).

Функция убывает на промежутке (a; b), если для всех x1 и x2, принадлежащих промежутку (a; b), из неравенства следует неравенство (рис. 6.2).

b
y = f (x)
а
f (x2)
f (x1)
х2
х1
у
х

b
y = f (x)
f (x1)
f (x2)
х2
а
х1
у
х

Рис. 6.1 Рис Асимптоты графика функции. 6.2

Функция является однотонной, если она или только увеличивается, или только убывает на .

К примеру, функция, график которой изображен на рисунке 6.3, однообразна, потому что она увеличивается на огромном количестве всех реальных чисел, а функция, график которой изображен на рисунке 6.4, не однообразна, потому что на промежутке она убывает, а на Асимптоты графика функции промежутке – растет.

y = f (x)
х
О
у

а
y = f (x)
х
О
у

Рис. 6.3 Рис. 6.4

Молвят, что числовое огромное количество симметрично относительно точки (начала отсчета) координатной прямой, если оно содержит только обратные элементы.

К примеру, числовые огромного количества , , – симметричные, а огромного количества , и – не симметричные.

Функция является четной, если: – симметричное Асимптоты графика функции огромное количество относительно начала отсчета и . График четной функции симметричен относительно оси .

Функция является нечетной, если: – симметричное огромное количество относительно начала отсчета и . График нечетной функции симметричен относительно точки .

К примеру:

1) функция четная, потому что:

а) – симметричное огромное количество относительно начала отсчета;

б) ;

2) функция четная, потому что:

а) – симметричное Асимптоты графика функции огромное количество относительно начала отсчета;

б) ;

3) функция не является четной и не является нечетной, потому что .

Функция именуется повторяющейся, если существует такое число , при котором для всех х из области определения функции производится равенство .

К примеру, тригонометрические функции , , и являются повторяющимися, потому что производятся равенства: , , и , где .

Чтоб выстроить график повторяющейся Асимптоты графика функции функции, довольно выстроить ее график на основном (меньшем) периоде T и выполнить параллельный перенос этого графика повдоль оси абсцисс на хоть какое количество периодов на лево и на право.

К примеру, разглядим функцию . Заметим, что запись обозначает самую большую целую часть некого числа, не превосходящую это число, а запись Асимптоты графика функции обозначает его дробную часть. Так, к примеру, , , , , , . Тогда функция является повторяющейся с главным периодом, равным 1. На рисунке 6.5 построен график этой функции на ее основном периоде , а на рисунке 6.6 построен график этой функции на нескольких периодах.

х
О
у

–1
х
О
у

Рис. 6.5 Рис. 6.6

Точки скрещения графика функции Асимптоты графика функции с осью абсцисс именуют нулями функции.

Чтоб отыскать нули функции нужно решить уравнение .

К примеру, найдем нули функции . Решая уравнение , получим , и .

Функция обратима, т. е. имеет оборотную функцию , если она либо однообразно увеличивается либо однообразно убывает на всей собственной области определения.

Функции и образуют пару взаимно оборотных функций. Взаимно оборотные функции Асимптоты графика функции владеют последующими качествами:

1) область определения функции является областью значений функции , а область значений функции является областью определения функции , т.е. , ;

2) если функция однообразно растет (убывает), то и функция увеличивается (убывает);

3) графики взаимно оборотных функций симметричны относительно прямой .

К примеру, функции и (рис. 6.7) взаимно оборотные, потому что формулы и выражают одну Асимптоты графика функции и ту же многофункциональную зависимость меж переменными. При этом:

а) , ;

б) обе функции однообразно растут на всей области их определения;

в) их графики симметричны относительно прямой .

y = x
y=ax
y=loga x
О
у
х

Рис. 6.8

Чтоб отыскать функцию оборотную функции нужно решить уравнение относительно переменной х Асимптоты графика функции и в этом уравнении поменять х на у, а у поменять на х.

К примеру, найдем функцию оборотную функции . Решим уравнение относительно х, другими словами, выразим переменную х очевидно. Получим: , и . Заменив в этом уравнении х на у, а у на х, запишем: . Функции и взаимно оборотные.

Разглядим две Асимптоты графика функции функции и . Функцию вида именуют сложной функцией.

К примеру: 1) если , а , то ;

2) если , а , то ;

3) если , а , то .

Асимптоты графика функции

Асимптотой полосы именуют прямую, к которой неограниченно приближается данная линия, когда ее точка неограниченно удаляется от начала координат.

Виды асимптот:

1) вертикальные – параллельные оси Оу;

2) наклонные – пересекающие ось Оу Асимптоты графика функции;

3) горизонтальные – параллельные оси ОУ.

1. Уравнение вертикальной асимптоты графика функции имеет вид , при условии, что производится хотя бы одно из критерий: , .

2. Уравнение наклонной асимптоты графика функции имеет вид , где

, (6.18)

. (6.19)

3. Если , то имеем горизонтальную асимптоту .


ast-ahe-yastrebi-natalya-vasileva-natalya-nekrasova.html
astafev-v-p-ekologicheskie-i-nravstvennie-problemi-v-proizvedeniyah-v-p-astafeva-sochinenie.html
astafeva-analiz-epicheskogo-proizvedeniya.html